.png)
Eliminacja Gaussa
Metoda rozwiązywania układów równań liniowych polegająca na doprowadzeniu układu równań do postaci schodkowej (górnotrójkątnej) poprzez operacje elementarne, które nie zmieniają jego zbioru rozwiązań.Operacje elementarne:
- przestawienie dwóch równań
- pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera
- dodanie stronami do jednego z równań dowolnej wielokrotności innego równania
Rozwiązaæ układ równań $$\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}+x_{3} = -1\\ x_{1}-3x_{2}-2x_{3}=-1\\ 3x_{1}-x_{2}-x_{3} = 4 \\ \end{cases} $$ Pierwszy schodek
Eliminujemy za pomocą pierwszego równania zmienną $x_{1}$ w pozostałych dwóch równaniach. W tym celu pierwsze równanie mnożymy przez $1$ i dodajemy do drugiego równania oraz pierwsze równanie mnożymy przez $3$ i dodajemy do trzeciego równania. $$\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}+x_{3} = -1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3} = -2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x_{2}+2x_{3}=1 \\ \end{cases} $$ Drugi schodek
Eliminujemy zmienną $x_{2}$ z trzeciego równania za pomocą drugiego równania. Mnożymy drugie równanie przez $5$ i dodajemy je do trzeciego równania. $$\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3}=-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x_{3}=-9 \\ \end{cases} $$ Zatem $$\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3}=-2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{3}=3 \\ \end{cases} $$ Teraz idąc od końca wyznaczamy kolejne niewiadome $$x_{2} = 2 – x_{3} = 2 – 3 = -1 $$ $$x_{1} = 1 +2x_{2} +x_{3}= 1+2-1=2$$ $$\begin{cases} x_{1}=2\\ x_{2}=-1\\ x_{3}=3\\ \end{cases} $$
powrót do spisu
