Eliminacja Gausa

Eliminacja Gaussa

Metoda rozwiązywania układów równań liniowych polegająca na doprowadzeniu układu równań do postaci schodkowej (górnotrójkątnej) poprzez operacje elementarne, które nie zmieniają jego zbioru rozwiązań.

Operacje elementarne:
  1. przestawienie dwóch równań
  2. pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera
  3. dodanie stronami do jednego z równań dowolnej wielokrotności innego równania
Przykład
Rozwiązaæ układ równań {−x1+2x2+x3=−1x1−3x2−2x3=−13x1−x2−x3=4 Pierwszy schodek
Eliminujemy za pomocą pierwszego równania zmienną x1 w pozostałych dwóch równaniach. W tym celu pierwsze równanie mnożymy przez 1 i dodajemy do drugiego równania oraz pierwsze równanie mnożymy przez 3 i dodajemy do trzeciego równania. {−x1+2x2+x3=−1         −x2−x3=−2           5x2+2x3=1 Drugi schodek
Eliminujemy zmienną x2 z trzeciego równania za pomocą drugiego równania. Mnożymy drugie równanie przez 5 i dodajemy je do trzeciego równania. {−x1+2x2+x3=−1         −x2−x3=−2                −3x3=−9 Zatem {−x1+2x2+x3=−1         −x2−x3=−2                        x3=3 Teraz idąc od końca wyznaczamy kolejne niewiadome x2=2–x3=2–3=−1 x1=1+2x2+x3=1+2−1=2 {x1=2x2=−1x3=3
powrót do spisu