Wyznaczyć ostatnię cyfrę liczby $2^{100000}$
Odp.
Należy wyznaczyć resztę z dzielenia przez 10
$$2^{4}\equiv 6 (\bmod 10)$$
$(2^{4})^{k} \equiv 6^{k}\equiv 6 (\bmod 10)$, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią. (dowolna potęga liczby z cyfrą 6 na końcu nie zmienia tej cyfry)
dla k = 25000 otrzymujemy liczbę $2^{100000}$
Odp.
Ostatnią cyfrą liczby $2^{100000}$ jest 6.
Wyznaczyć cyfrę jedności liczby $53^{53}-33^{33}$
Wyznaczamy resztę z dzielenia przez 10.
Zauważmy, że $53\equiv 3(\bmod 10)$, czyli $53^{53} \equiv 3^{53}(\bmod 10)$ oraz $33\equiv 3 (\bmod 10)$, czyli $33^{33}\equiv 3^{33}(\bmod 10)$.
Skoro $9\equiv -1 (\bmod 10)$, to $3^{53}=9^{26+1}=9^{26}\cdot 3 \equiv (-1)^{26}\cdot 3 (\bmod 10)\equiv 3(\bmod 10)$
Analogicznie $3^{33}= 9^{16}\cdot 3 \equiv (-1)^{16}\cdot 3 (\bmod 10) \equiv 3(\bmod 10)$
Korzystając z przechodniości kongruencji, odejmując je stronami mamy: $53^{53} - 33^{33} \equiv 3-3 (\bmod 10)$, czyli ta liczba jest podzielna przez 10.
Odp.
Ostatnią cyfrą liczby $53^{53}-33^{33}$ jest 0.
W jakim dniu tygodnia rozpoczęła się druga wojna światowa
Druga wojna światowa rozpoczęła się 1 września 1939 roku.
Przyporządkujmy dniom tygodnia cyfry od 0 do 6:
0 - niedziela, 1 - poniedziałek, 2 - wtorek, 3 - środa, 4 - czwartek, 5 - piątek, 6 - sobota.
Rok (nieprzestępny) ma 365 dni. $365= 350+14+1\equiv 1(\bmod 7)$. Stąd wynika, że po upływie roku (nieprzestępnego) numer dnia tygodnia wzrasta o 1 w porównaniu z rokiem poprzednim.
Rok przestępny ma 366 dni. $366 = 364+2=7\cdot 52 + 2 \equiv 2 (\bmod 7)$. Stąd wynika, że po upływie roku przestępnego numer dnia tygodnia wzrasta o 2.
Oznaczmy szukany dzień tygodnia przez $d$.
Sprawdzamy w kalendarzu, że 01.01.2017 wypadał w piątek - 5. Od rozpoczęcia II wojny światowej upłynęło 78 lat.
W tym okresie było $1940, 1944, 1948, ... 2016$ roczników przestępnych. Daty tworzą ciąg arytemtyczny o różnicy 4. Ze wzoru obliczamy ich liczbę:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$2016 = 1940+(n-1)\cdot 4$$
$$76=4n-4$$
$$4n=80$$
$$n=20$$
Zatem
$$d\equiv 5 - 20 - 78=-93 (\bmod 7)\equiv 5 (\bmod 7).$$
Odp.
Druga wojna rozpoczęła się w piątek.
Przy sięganiu do dat sprzed 1582r. należy uwzględnić zmianę kalendarza juliańskiego na kalendarz gregoriański. W kalendarzu juliańskim wprowadzonym przez Juliusza Cezara w 45 roku p.n.e, każdy rok podzielny przez 4 był przestępny i miał 366 dni, a pozostałe lata miały 365 dni. Kalendarz gregoriański wprowadzony w 1582 roku przez papieża Grzegorza XIII, wprowadził wyjątki od tej zasady: Rok o numerze podzielnym przez 100, ale nie podzielnym przez 400, jest rokiem zwykłym. Ponadto pominięto w kalendarzu 10 dat: od 5 do 14 października 1582 roku. Kalendarz juliański spóźnia się o 1 dzień na 128 lat, natomiast opóźnienie kalendarza gregoriańskiego wynosi 1 dzień na ok. 3000 lat.
Okrążenie słońca przez ziemię trwa ok. 365.242199 dni, zatem w kalendarzu juliańskim co roku ubywało 365.25 - 365.242199 = 0.007801 dnia, co daje ok. 1 dzień na 128 lat.
W jakim dniu tygodnia odbyła się bitwa pod Grunwaldem, która rozpoczęła się 15 lipca 1410 roku.
Rozumując podobnie jak wyżej od do 15.07.1410 do 15.07.2017(15.07.2017 wypadła sobota - 6) upłynęło dokładnie 607 lat. W tym okresie było $1412, 1416,..., 2016$ lat przestępnych z wyjątkiem roczników $1700, 1800, 1900$ (według kalendarza gregoriańskiego one nie są przestępne). Zatem
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot 4$$
$$2016=1412+4n-4$$
$$608=4n$$
$$n=152$$
Zatem od rozpoczęcia bitwy pod Grunwaldem upłynęło $152-3=149$ lat przestępnych. Musimy jeszcze uwzględnić te pominięte 10 dni w kalendarzu. Zatem szukany dzień spełnia kongruencję:
$$d\equiv 6-607-149+10=-740=-7\cdot 105-5(\bmod 7)\equiv 2 (\bmod 7)$$
Odp.
Bitwa pod Grunwaldem rozpoczęła się we wtorek.
Oblicz resztę z dzielenia liczby $77^{77}$ przez 5
Zauważmy, że $77\equiv 2(\bmod 5)$, czyli $77^{77}\equiv 2^{77}(\bmod 5)$
$$2^{77}=2^{76}\cdot 2 =4^{38}\cdot 2 \equiv (-1)^{38}\cdot 2\equiv 2(\bmod 5)$$
Odp.
Liczba $77^{77}$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby $99^{99}+49^{49}$
Należy wyznaczyć resztę z dzielenia przez 100.
$$99^{99}\equiv (-1)^{99}\equiv -1 (\bmod 100)$$
Zauważamy, że $49^{2}=2401\equiv 1 (\bmod 100)$. Stąd
$$49^{49}=(49^{2})^{24}\cdot49 \equiv 1^{24}\cdot 49\equiv 49 (\bmod 100)$$
Dodając stronami uzyskane kongruencje, mamy
$$99^{99}+49^{49}\equiv -1+49=48(\bmod 100) $$
Odp.
Liczba $99^{99}+49^{49}$ kończy się na 48.
powrót do spisu
