Eliminacja Gaussa
Metoda rozwi±zywania układów równań liniowych polegaj±ca na doprowadzeniu układu równań do postaci schodkowej (górnotrójk±tnej) poprzez operacje elmentarne, które nie zmieniaj± jego zbioru rozwi±zań.
Operacje elementarne:
- przestawienie dwóch równań
- pomnożenie obu stron równania przez liczbę różn± od zera
- dodanie stronami do jednego z równań dowolnej wielokrotnoś¶ci innego równania
Przykład
Rozwi±zać układ równań
$$\begin{cases}
-x_{1}+2x_{2}+x_{3} = -1\\
x_{1}-3x_{2}-2x_{3}=-1\\
3x_{1}-x_{2}-x_{3} = 4 \\
\end{cases}
$$
Pierwszy schodek
Eliminujemy za pomoc± pierwszego równania zmienn± $x_{1}$ w pozostałych dwóch równaniach. W tym celu pierwsze równanie możymy przez $1$ i dodajemy do drugiego równania oraz pierwsze równanie mnożymy przez $3$ i dodajemy do trzeciego równania.
$$\begin{cases}
-x_{1}+2x_{2}+x_{3} = -1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3} = -2 \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x_{2}+2x_{3}=1 \\
\end{cases}
$$
Drugi schodek
Eliminujemy zmienn± $x_{2}$ z trzeciego równania za pomoc± drugiego równania. Mnożymy drugie równanie przez $5$ i dodajemy je do trzeciego równania.
$$\begin{cases}
-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3}=-2 \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x_{3}=-9 \\
\end{cases}
$$
Zatem
$$\begin{cases}
-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ -x_{2}-x_{3}=-2 \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{3}=3 \\
\end{cases}
$$
Teraz id±c od końca wyznaczamy kolejne niewiadome
$$x_{2} = 2 - x_{3} = 2 - 3 = -1 $$
$$x_{1} = 1 +2x_{2} +x_{3}= 1+2-1=2$$
$$\begin{cases}
x_{1}=2\\
x_{2}=-1\\
x_{3}=3\\
\end{cases}
$$
powrót do spisu
