Cechy podzielności
Liczbę naturalną N w systemie dzisiątkowym można zapisać następująco:
$N=(c_{1}c_{2}...c_{n}) = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n}$
Cecha podzielności przez 2
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n} = 10(c_{1}10^{n-2}+c_{2}10^{n-3}+ ...+c_{n-1})+c_{n}$
Widzimy więc, że liczba N jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra $c_{n}$ jest podzielna przez 2 (10 jest liczbą podzielną przez 2).
Liczba całkowita jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest parzysta.
Przykład
Liczba 8876535556 jest podzielna przez 2, gdyż ostatnia cyfra 2 tej liczby jest parzysta.
Cecha podzielności przez 4
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n} = 100(c_{1}10^{n-3}+c_{2}10^{n-3}+ ...+c_{n-2})+$
$+10\cdot c_{n-1}+c_{n}$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 4, gdy liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4 (100 jest liczbą podzielną przez 4).
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 4, gdy liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 4.
Przykład
Liczba 8766567456412 jest podzielna przez 4, bo liczba 12 jest podzielna przez 4.
Cecha podzielności przez $2^{k}$
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{1} = 10^{k}(c_{1}10^{n-1-k}+c_{2}10^{n-2-k}+ ...+10^{0}c_{n-k})+$ $+10^{k-1}c_{n-k+1}+...+10^{0}c_{n}$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez $2^{k}$, gdzie k jest liczbą całkowitą dodatnią, gdy liczba złożona z $k$ ostatnich cyfr jest podzielna przez liczbę $2^{k}$.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez $2^{k}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą dodatnią, gdy liczba złożona z $k$ ostatnich cyfr tej liczby jest liczbą podzielną przez $2^{k}$.
Przyklad
Liczba 545454465454654064 jest podzielna przez 8, bo liczba zlożona z trzech ostatnich cyfr 64 jest podzielna przez 8. W praktyce łatwiej jest podzielić tę liczbę przez 2, czyli u nas 32 i sprawdzić czy jest ona podzielna przez 4.
Cecha podzielności przez 5
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n} = 10(c_{1}10^{n-2}+c_{2}10^{n-3}+ ...+c_{n-1})+c_{n}$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 5, gdy ostatnia cyfra $c_{n}$ tej liczby jest podzielna przez 5, czyli gdy ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5
Przykład
Liczba 67676875 jest podzielna przez 5, bo ostatnią cyfrą tej liczby jest 5.
Cecha podzielności przez 10
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n} = 10(c_{1}10^{n-2}+c_{2}10^{n-3}+ ...+c_{n-1})+c_{n}$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 10, gdy ostatnią cyfrą $c_{n}$ tej liczby jest 0.
Liczba całkowita jest podzielna przez 10, gdy ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.
Przykład
Liczba 67676870 jest podzielna przez 10, bo ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.
Cecha podzielności przez $5^{k}$
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{1} = 10^{k}(c_{1}10^{n-1-k}+c_{2}10^{n-2-k}+ ...+10^{0}c_{n-k})+$ $+10^{k-1}c_{n-k+1}+...+10^{0}c_{n}$
Liczba $N$ jest podzielna przez $5^{k}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą dodatnią, gdy liczba złożona z $k$ ostatnich cyfr jest liczbą podzielną przez $5^{k}$.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez $5^{k}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą dodatnią, gdy liczba złożona z $k$ ostatnich cyfr tej liczby jest liczbą podzielną przez $5^{k}$
Przykład
Liczba 565656125 jest podzielna przez 125, bo liczba złożona z trzech ostatnich cyfr 125 jest podzielna przez 125.
Analogicznie:
Cecha podzielności przez $10^{k}$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez $10^{k}$, gdy k ostatnich cyfr tej liczby jest zerami.
Cecha podzielności przez 20
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 20, gdy jest podzielna przez 4 i przez 5.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 20, jeśli ostatnia jej cyfra to 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta.
Przykład
Liczba 565765634546740 jest podzielna przez 20, bo ostatnia jej cyfra to 0, a przedostatnia 4 jest parzysta.
Cecha podzielności przez 3
$f(x) = c_{1}x^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + ... +c_{n-1}x^{1} + c_{n}$
$N = f(10)$
Wiemy, że: $10 \equiv 1 \ ({\bmod {\ }}3)$
Zatem korzystając z własności uzasadnionej wcześniej mamy:
$f(10) \equiv f(1) = c_{1} + c_{2} + ... + c_{n} \ ({\bmod {\ }}3)$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3
Przykład
Liczba 1112223 jest podzielna przez 3, bo suma cyfr tej liczby 1+1+1+2+2+2+3 = 12 jest liczbą podzielną przez 3
Analogicznie:
Cecha podzielności przez 9
$f(x) = c_{1}x^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + ... +c_{n-1}x^{1} + c_{n}$
$N = f(10)$
Wiemy, że: $10 \equiv 1 \ ({\bmod {\ }}9)$
Zatem korzystając z własności uzasadnionej wcześniej mamy:
$f(10) \equiv f(1) = c_{1} + c_{2} + ... + c_{n} \ ({\bmod {\ }}9)$
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.
Cecha podzielności przez 6
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3.
Przykład
Liczba 2335111212 jest podzielna przez 3, bo suma jej cyfr 2+3+3+5+1+1+1+2+1+2=21 jest liczbą podzielną przez 3 i jest podzielna przez 2, bo ostatnia cyfra tej liczby 2 jest parzysta.
Cecha podzielności przez 12
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 12, gdy jest podzielna przez 4 i przez 3.
Przykład
Liczba 1234321132 jest podzielna przez 12, bo suma jej cyfr 2+3+4+3+2+1+1+3+2 = 21 jest podzielna przez 3 oraz liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr 32 jest podzielna przez 4.
Cecha podzielności przez 18
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 18, gdy jest podzielna przez 2 i przez 9.
Przykład
Liczba 4443354 jest podzielna przez 9, bo suma jej cyfr 4+4+4+3+3+5+4 = 27 jest liczbą podzielną przez 9 i jest podzielna przez 2, bo ostatnia jej cyfra 4 jest parzysta.
Cecha podzielności przez 15
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 15, gdy jest podzielna przez 3 i przez 5.
Przykład
Liczba 12222225 jest podzielna przez 15, bo suma jej cyfr 1+2+2+2+2+2+2+5=18 jest podzielna przez 3 i ostatnia cyfra to 5.
Cecha podzielności przez 24
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 24, gdy jest podzielna przez 3 i przez 8.
Przykład
Liczba 44444160 jest podzielna przez 24, bo suma jej cyfr 4+4+4+4+4+1+6+0 = 27 jest podzielna przez 3 i liczba złożona z trzech ostatnich cyfr 160 jest podzielna przez 8.
Cecha podzielności przez 11
$f(x) = c_{1}x^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + ... +c_{n-1}x^{1} + c_{n}$
$N = f(10)$
Wiemy, że: $10 \equiv -1 \ ({\bmod {\ }}11)$
Zatem
$f(10) \equiv f(-1) = c_{1}(-1)^{n-1}+ c_{2}(-1)^{n-2} + ... - c_{n-1} + c_{n} =$
$= -c_{1} + c_{2} - ... - c_{n-1} + c_{n} \ ({\bmod {\ }}11)$
Liczba $N$ jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę jej cyfr.
Przykład
Liczba 13455432914 jest podzielna przez 11, bo suma naprzemienna jej cyfr 4-1+9-2+3-4+5-5+4-3+1=11 jest podzielna przez 11.
Cecha podzielności przez 22
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 22, gdy jest podzielna przez 2 oraz przez 11.
Cecha podzielności przez 7
Liczbę naturalną
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n}$
możemy podzielić na trójki
$N =\ ... +1000^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+1000^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
$f(x) =\ ... +x^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+x^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
$N=f(1000)$
Wiemy, że: $1000 \equiv -1 \ ({\bmod {\ }}7)$ (bo $1001 = 7\cdot 11\cdot 13)$
Zatem
$f(1000) \equiv f(-1)({\bmod {\ }}7)$
$f(-1) =\ ... +(-1)^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+(-1)^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
Stąd 7 dzieli liczbę $N$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
Przykład
7 dzieli 23697678872, bo $872 - 678 + 697 - 23 = 868 = 7\cdot124$
Cecha podzielności przez 14
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 14, gdy jest podzielna przez 2 oraz przez 7.
Cecha podzielności przez 21.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 21, gdy jest podzielna przez 3 i przez 7.
Cecha podzielności przez 13
Liczbę naturalną
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n}$
możemy podzielić na trójki
$N =\ ... +1000^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+1000^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n-2}c_{n-1}c_{n})$
$f(x) =\ ... +x^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+x^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
$N=f(1000)$
Wiemy, że: $1000 \equiv -1 \ ({\bmod {\ }}13)$ (bo $1001 = 7\cdot 11\cdot 13)$
$f(1000) \equiv f(-1)({\bmod {\ }}13)$
$f(-1) =\ ... +(-1)^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+(-1)^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n-2}c_{n-1}c_{n})$
Stąd 13 dzieli liczbę $N$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 13 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
Przykład
13 dzieli 3224, bo $224-3=221=13\cdot 17$
Cecha podzielności przez 17
Liczbę naturalną
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n}$
możemy podzielić na dwójki
$N =\ ... +100^{2}(c_{n-6}c_{n-5})+100^{1}(c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n-1}c_{n})$
$f(x) =\ ... +x^{2}(c_{n-6}c_{n-5})+x^{1}(c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n-1}c_{n})$
$N=f(100)$
Wiemy, że: $100 \equiv -2 \ ({\bmod {\ }}17)$ (bo $102 = 6\cdot 17)$
$f(100) \equiv f(-2)({\bmod {\ }}17)$
$f(-2) =\ ... +(-2)^{2}(c_{n-6}c_{n-5})+(-2)^{1}(c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n-1}c_{n})$
Stąd 17 dzieli liczbę $N$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienną sumę powstałych z podziału liczby N na dwójki pomnożonych przez $(-2)^k$, gdzie gdzie $k$ zmienia się od 0 do ostatniej pary(od końca).
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 17 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli sumę powstałych z podziału liczby N na dwójki pomnożone przez $(-2)^k$, gdzie $k$ zmienia się od 0 do ostatniej pary(od końca).
Przykład
2089045 dzieli 17, bo
$45\cdot(-2)^{0}+90\cdot(-2)^{1}+8\cdot (-2)^{2} + 2 \cdot (-2)^{3}=$
$= 45 -180+32-16=-119=-7\cdot 17$. Stosujemy otrzymaną zasadę dla liczby 119, czyli 19-2=17.
lub szybciej schematem Hornera: $45\cdot(-2)^{0}+90\cdot(-2)^{1}+8\cdot (-2)^{2} + 2 \cdot (-2)^{3}=$
$=45+(-2)^{1}(90+8\cdot (-2)^{1}+2\cdot (-2)^{2})=45+(-2(90+8\cdot (-2)^{1}+2\cdot(-2)^{2}))=$
$45+(-2(90-2(8+2 \cdot(-2)^{1}))) = 45-2(90-2(8-4) =45-2(90-8)=$
$=45-164=-119$
Istnieją inne reguły podzielności liczby 17. Ta cecha wynika z kongruencji: $100 \equiv -2 \ ({\bmod {\ }}17)$.
Cecha podzielności przez 26
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 26, gdy jest podzielna przez 2 i przez 13.
Przykład
26 dzieli 3224, bo $224-3=221=13\cdot 17$ jest podzielna przez 13 i ostatnia cyfra liczby to 4.
Cecha podzielności przez 27, 37
Liczbę naturalną
$N = c_{1}10^{n-1} + c_{2}10^{n-2} + ... +c_{n-1}10^{1} + c_{n}$
możemy podzielić na trójki
$N =\ ... +1000^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+1000^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
$f(x) =\ ... +x^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+x^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
$N=f(1000)$
Wiemy, że: $1000 \equiv 1 \ ({\bmod {\ }}27, 37)$ (bo $999 = 27\cdot 37)$
$f(1000) \equiv f(1)({\bmod {\ }}27, 37)$
$f(1) =\ ... +(1)^{2}(c_{n-8}c_{n-7}c_{n-6})+(1)^{1}(c_{n-5}c_{n-4}c_{n-3})+(c_{n}c_{n-1}c_{n})$
Stąd 27, 37 dzieli liczbę $N$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
Liczba całkowita $N$ jest podzielna przez 27, 37 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli sumę liczb powstałych z podziału liczby $N$ na trójki.
Przykład
Liczba 33345 dzieli 27, bo $345+33=378=27 \cdot 14$.
Ćwiczenie
- Korzystając z kongruencji $100 \equiv -1 \ ({\bmod {\ }}101)$ wyprowadź cechę podzielności przez 101.
powrót do spisu
